অধ্যায় পরিচিতি ও সংক্ষিপ্ত সারসংক্ষেপ
পশ্চিমবঙ্গ মধ্যশিক্ষা পর্ষদ অনুমোদিত পঞ্চম শ্রেণির পাঠ্যপুস্তক 'আমার গণিত'-এর চতুর্থ অধ্যায় "সবথেকে বেশি কতজনের মধ্যে সমান ভাগ করতে পারি" (পৃষ্ঠা ৪৮ থেকে ৫৫)-তে গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.) নির্ণয়ের বিভিন্ন পদ্ধতি আলোচনা করা হয়েছে। এতে গুণনীয়ক ও সাধারণ গুণনীয়ক নির্ণয়, পরস্পর মৌলিক সংখ্যা যাচাই, উৎপাদকের সাহায্যে গ.সা.গু., ধারাবাহিক ভাগ প্রক্রিয়ায় গ.সা.গু. এবং বাস্তব জীবনের কথার অঙ্কে সর্বাধিক মাপ বা সর্বোচ্চ সংখ্যা নির্ধারণের প্রক্রিয়া ধাপে ধাপে সমাধান করা হয়েছে।
১
গুণনীয়ক এবং সাধারণ গুণনীয়ক নির্ণয় করি :
পৃষ্ঠা ৫১ - এর ১ ও ২ নং অঙ্ক
১। মনে মনে হিসাব করি:
(ক) ৮ এর গুণনীয়ক কতগুলি?
৮-এর গুণনীয়কগুলি হলো: ১, ২, ৪, ৮।উত্তর: ৪টি।
(খ) ২১ এর গুণনীয়কগুলি কী কী?
উত্তর: ১, ৩, ৭, ২১।
(গ) ২৪ এর কতগুলো মৌলিক উৎপাদক আছে?
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩। এর মৌলিক উৎপাদক হলো ২ এবং ৩।উত্তর: ২টি।
(ঘ) ৪৯ এর মৌলিক উৎপাদক কী কী?
৪৯ = ৭ × ৭।উত্তর: ৭।
২। সাধারণ গুণনীয়ক নির্ণয় করি:
| সংখ্যা দুটি | প্রথম সংখ্যার গুণনীয়ক | দ্বিতীয় সংখ্যার গুণনীয়ক | সাধারণ গুণনীয়ক |
|---|---|---|---|
| (ক) ১৪, ২১ | ১, ২, ৭, ১৪ | ১, ৩, ৭, ২১ | ১, ৭ |
| (খ) ১০, ১৫ | ১, ২, ৫, ১০ | ১, ৩, ৫, ১৫ | ১, ৫ |
| (গ) ৫, ৭ | ১, ৫ | ১, ৭ | ১ |
| (ঘ) ১, ১২ | ১ | ১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২ | ১ |
| (ঙ) ২৭, ৩৬ | ১, ৩, ৯, ২৭ | ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৯, ১২, ১৮, ৩৬ | ১, ৩, ৯ |
| (চ) ২৮, ৩৫ | ১, ২, ৪, ৭, ১৪, ২৮ | ১, ৫, ৭, ৩৫ | ১, ৭ |
২
গুণনীয়কের সাহায্যে গ.সা.গু. নির্ণয় এবং পরস্পর মৌলিক সংখ্যা বিচার :
পৃষ্ঠা ৫১ - এর ৩ ও ৪ নং অঙ্ক
৩। গুণনীয়কের সাহায্যে গ.সা.গু. নির্ণয় করি:
(ক) ২১, ২৮
২১ এর গুণনীয়ক = ১, ৩, ৭, ২১২৮ এর গুণনীয়ক = ১, ২, ৪, ৭, ১৪, ২৮
গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু) = ৭
(খ) ৩০, ২৪
৩০ এর গুণনীয়ক = ১, ২, ৩, ৫, ৬, ১০, ১৫, ৩০২৪ এর গুণনীয়ক = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ২৪
নির্ণেয় গ.সা.গু. = ৬
(গ) ২৪, ২৮
সাধারণ গুণনীয়কগুলি = ১, ২, ৪গ.সা.গু. = ৪
(ঘ) ১৩, ১৫
সাধারণ গুণনীয়ক = ১গ.সা.গু. = ১
(ঙ) ১৬, ৪০
সাধারণ গুণনীয়কগুলি = ১, ২, ৪, ৮গ.সা.গু. = ৮
৪। প্রতিক্ষেত্রে নীচের সংখ্যাগুলি পরস্পর মৌলিক কিনা দেখি:
নিয়ম: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ১ হলে তারা পরস্পর মৌলিক সংখ্যা।
(ক) ৯, ৮
৯ ও ৮ এর সাধারণ উৎপাদক কেবল ১, তাই গ.সা.গু. = ১।➔ উত্তর: এরা পরস্পর মৌলিক সংখ্যা।
(খ) ৭, ১৩
দুটিই মৌলিক সংখ্যা, এদের সাধারণ উৎপাদক ১। গ.সা.গু. = ১।➔ উত্তর: এরা পরস্পর মৌলিক সংখ্যা।
(গ) ১৫, ২৫
১৫ ও ২৫ এর সাধারণ উৎপাদক ১ এবং ৫। এদের গ.সা.গু. = ৫।➔ উত্তর: এরা পরস্পর মৌলিক নয়।
(ঘ) ২৫, ১৬
২৫ = ৫ × ৫ এবং ১৬ = ২ × ২ × ২ × ২। সাধারণ উৎপাদক ১। গ.সা.গু. = ১।➔ উত্তর: এরা পরস্পর মৌলিক সংখ্যা।
৩
১ এবং মৌলিক উৎপাদকের সাহায্যে গ.সা.গু. নির্ণয় করি :
পৃষ্ঠা ৫২ - এর ২ নং অঙ্ক
ক)৬৬ও৮৪
৬৬=২×৩×১১
৮৪=২×২×৩×৭
সাধারণ উৎপাদক = ২, ৩
খ)৪০ও৯০
৪০=২×২×২×৫
৯০=২×৩×৩×৫
সাধারণ উৎপাদক = ২, ৫
গ)২৩ও২১
২৩=১×২৩ (মৌলিক)
২১=১×৩×৭
সাধারণ উৎপাদক = ১
ঘ)২৫, ৩০ও৪৫
২৫=৫×৫
৩০=২×৩×৫
৪৫=৩×৩×৫
সাধারণ উৎপাদক = ৫
ঙ)১২, ১৮ও২৭
১২=২×২×৩
১৮=২×৩×৩
২৭=৩×৩×৩
সাধারণ উৎপাদক = ৩
চ)১৫, ২৫ও৪০
১৫=৩×৫
২৫=৫×৫
৪০=২×২×২×৫
সাধারণ উৎপাদক = ৫
৪
ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে গ.সা.গু. নির্ণয় করি :
পৃষ্ঠা ৫৪ - এর অঙ্ক
ক) ৭, ৬
৬ ) ৭ ( ১- ৬
---
১ ) ৬ ( ৬
- ৬
---
০
নির্ণেয় গ.সা.গু. = ১
খ) ৯, ১২
৯ ) ১২ ( ১- ৯
---
৩ ) ৯ ( ৩
- ৯
---
০
নির্ণেয় গ.সা.গু. = ৩
গ) ১৫, ২৫
১৫ ) ২৫ ( ১- ১৫
----
১০ ) ১৫ ( ১
- ১০
----
৫ ) ১০ ( ২
- ১০
----
০
নির্ণেয় গ.সা.গু. = ৫
ঘ) ২৪, ৩৬
২৪ ) ৩৬ ( ১- ২৪
----
১২ ) ২৪ ( ২
- ২৪
----
০
নির্ণেয় গ.সা.গু. = ১২
ঙ) ৩৯, ৬৫
৩৯ ) ৬৫ ( ১- ৩৯
----
২৬ ) ৩৯ ( ১
- ২৬
----
১৩ ) ২৬ ( ২
- ২৬
----
০
নির্ণেয় গ.সা.গু. = ১৩
চ) ১০, ১৮
১০ ) ১৮ ( ১- ১০
----
৮ ) ১০ ( ১
- ৮
---
২ ) ৮ ( ৪
- ৮
---
০
নির্ণেয় গ.সা.গু. = ২
ছ) ৪৫, ৫৫
৪৫ ও ৫৫ এর গ.সা.গু. = ৫
জ) ২২, ৩৩
২২ ও ৩৩ এর গ.সা.গু. = ১১
ঝ) ২৮, ৩৫
২৮ ও ৩৫ এর গ.সা.গু. = ৭
ঞ) ২১, ৩০
২১ ও ৩০ এর গ.সা.গু. = ৩
৫
গ.সা.গু. সম্পর্কিত বাস্তব সমস্যার সমাধান (কথার অঙ্ক) :
পৃষ্ঠা ৫১, ৫৩ ও ৫৫ - এর অঙ্ক
১। ৫৫ মিটার দীর্ঘ একটি লোহার পাত ও ২২ মিটার দীর্ঘ একটি তামার পাত থেকে কোনো পাত নষ্ট না করে একই মাপের সবচেয়ে বড়ো টুকরো কেটে নেওয়া হলো। এই টুকরোটির দৈর্ঘ্য কত? (পৃষ্ঠা ৫১)
সমাধান: সবচেয়ে বড়ো টুকরোর দৈর্ঘ্য হবে ৫৫ ও ২২ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.)।
৫৫ = ১ × ৫ × ১১
২২ = ১ × ২ × ১১
৫৫ ও ২২ এর গ.সা.গু. = ১১।
উত্তর: টুকরোটির সর্বাধিক দৈর্ঘ্য ১১ মিটার হবে।
২। ১৪ টি গোটা আপেল ও ২১ টি গোটা কমলালেবু সবচেয়ে বেশি কতজনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করা যাবে? (পৃষ্ঠা ৫৩)
সমাধান: সর্বাধিক জনের সংখ্যা হবে ১৪ ও ২১ এর গ.সা.গু.।
১৪ ) ২১ ( ১
- ১৪
----
৭ ) ১৪ ( ২
- ১৪
----
০
১৪ ও ২১ এর গ.সা.গু. = ৭।
উত্তর: সবচেয়ে বেশি ৭ জনের মধ্যে ফলগুলি সমান ভাগে ভাগ করা যাবে।
৩। ৯ টি খাতা, ১২ টি পেনসিল ও ২৪ টি রং পেনসিল সর্বাধিক কতজনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দেওয়া যাবে? (পৃষ্ঠা ৫৫)
সমাধান: সর্বাধিক জনের সংখ্যা হবে ৯, ১২ ও ২৪ এর গ.সা.গু.।
৯ = ৩ × ৩
১২ = ২ × ২ × ৩
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩
৯, ১২, ২৪-এর গ.সা.গু. = ৩।
উত্তর: সর্বাধিক ৩ জনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দেওয়া যাবে।
৪। ৭৫ লিটার কেরোসিন তেল ও ২৫ লিটার পেট্রোল সমান মাপের টিনে এমনভাবে ভর্তি করে রাখতে হবে যাতে দু-প্রকার তেল মিশে না যায়। কমপক্ষে কতগুলি টিনে তা করা যাবে? প্রতি টিনে কত লিটার তেল ধরবে? (পৃষ্ঠা ৫৫)
সমাধান: প্রতি টিনে সর্বাধিক তেল ধরতে পারে ৭৫ এবং ২৫ এর গ.সা.গু.।
২৫ ) ৭৫ ( ৩
- ৭৫
----
০
৭৫ ও ২৫ এর গ.সা.গু. = ২৫। সুতরাং প্রতি টিনে ২৫ লিটার তেল ধরবে।
কমপক্ষে টিন লাগবে = (৭৫ ÷ ২৫) + (২৫ ÷ ২৫) = ৩ + ১ = ৪টি।
উত্তর: প্রতি টিনে ২৫ লিটার তেল ধরবে এবং কমপক্ষে ৪টি টিন লাগবে।
৬
তিনটি সংখ্যার গ.সা.গু. নির্ণয় করি :
পৃষ্ঠা ৫৫ - এর ৫ নং অঙ্ক
ক) ১৪, ২১, ৩৫
১৪ = ২ × ৭২১ = ৩ × ৭
৩৫ = ৫ × ৭
নির্ণেয় গ.সা.গু. = ৭
খ) ১১, ৩৩, ৫৫
১১ = ১ × ১১৩৩ = ৩ × ১১
৫৫ = ৫ × ১১
নির্ণেয় গ.সা.গু. = ১১
গ) ৭২, ৯০, ৫৪
সংক্ষিপ্ত ভাগ প্রক্রিয়ায়:২ | ৭২, ৯০, ৫৪
-------------
৩ | ৩৬, ৪৫, ২৭
-------------
৩ | ১২, ১৫, ৯
-------------
৪, ৫, ৩
নির্ণেয় গ.সা.গু. = ২ × ৩ × ৩ = ১৮
ঘ) ২৬, ৬৫, ৯১
২৬ = ২ × ১৩৬৫ = ৫ × ১৩
৯১ = ৭ × ১৩
নির্ণেয় গ.সা.গু. = ১৩
সম্পূর্ণ গণিত নোটসের প্রিন্টেবল PDF পেতে চান?
ক্লিক করলেই প্রথম পেজে আকর্ষণীয় কভার পেজসহ সম্পূর্ণ অধ্যায়ের অফলাইন PDF প্রিন্ট রেডি হয়ে যাবে।
সচরাচর জিজ্ঞাস্য (FAQ) : অধ্যায় ৪
এই অধ্যায়ে মূলত গ.সা.গু. (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) বা Greatest Common Divisor নির্ণয় করা শেখানো হয়েছে। উৎপাদক গাছের সাহায্যে, মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে এবং ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে দুই বা তিন সংখ্যার গ.সা.গু. বের করার পদ্ধতি আলোচনা করা হয়েছে।
গ.সা.গু.-এর পূর্ণরূপ হলো 'গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক'।
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. যদি ১ হয়, তবে সেই সংখ্যা দুটিকে পরস্পর মৌলিক সংখ্যা বলা হয়। যেমন: ১৪ এবং ১৫ এর গ.সা.গু ১, তাই এরা পরস্পর মৌলিক।
